Himpunan
(matematika)
Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda
tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide
yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting
dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur
kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Notasi Himpunan
Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar,
misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf
kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak
membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di
bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
Notasi Contoh
Himpunan Huruf besar S
Elemen himpunan Huruf
kecil (jika merupakan huruf) a
Kelas Huruf tulisan
tangan
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti
bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks
Notasi
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Simbol Arti Simbol Arti
{} atau Himpunan
kosong
Operasi gabungan
dua himpunan
Operasi irisan
dua himpunan
, , , Subhimpunan,
Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
AC Komplemen
Himpunan kuasa
{} atau Himpunan
kosong
Operasi gabungan
dua himpunan
Operasi irisan
dua himpunan
, , , Subhimpunan,
Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
AC Komplemen
Himpunan kuasaEnumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika
terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).
Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan
mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan
tersebut.
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks,
contohnya adalah himpunan berikut:
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus
mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan
anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.
[sunting]Himpunan kosong
Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:
anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan
sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut
sebagai himpunan kosong.
Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis
sebagai:
[sunting]Relasi antar himpunan
[sunting]Subhimpunan
Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga,
pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah
diambil dari himpunan tersebut.
{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}
Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap
anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini
disebut sebagai subhimpunan atau himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:
B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga
terdapat dalam A.
Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka Untuk sembarang himpunan A,
Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan
bagian dari A adalah A sendiri.
Untuk sembarang himpunan A,
Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai
subhimpunannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut
himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan
biasanya jelas dari konteksnya.
Subhimpunan sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A,
tetapi tidak mencakup A sendiri.
[sunting]Superhimpunan
Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu
himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.
[sunting]Kesamaan dua himpunan
Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah
anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.
ataujuga subhimpunan dari A.
Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua
himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B,
kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.
[sunting]Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah
himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah .
Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :
{ { },
{apel}, {jeruk},
{mangga}, {pisang},
{apel, jeruk}, {apel,
mangga}, {apel, pisang},
{jeruk, mangga},
{jeruk, pisang}, {mangga, pisang},
{apel, jeruk,
mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga,
pisang},
{apel, jeruk, mangga,
pisang} }
Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A
adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.
[sunting]Kelas
Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan
jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan
bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, adalah sebuah keluarga himpunan.
Contoh berikut,
bukanlah sebuah kelas, karena mengandung elemen c yang bukan himpunan
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai
ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen
himpunan {apel,jeruk,mangga,pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} juga memiliki
elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain,
atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.
Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama,
jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena
dengan mudah kita membuat fungsi yang
memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut
memiliki kardinalitas yang sama.
[sunting]Himpunan Denumerabel
Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan
bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari
himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas .
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan
denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut
dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh .
[sunting]Himpunan Berhingga
Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari
kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.
[sunting]Himpunan Tercacah
Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah
berhingga atau denumerabel.
[sunting]Himpunan Non-Denumerabel
Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel.
Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari
himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan
riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.
Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki
kardinalitas , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut
dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah .
[sunting]Fungsi Karakteristik
Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat
dalam sebuah himpunan atau tidak.
Jika maka:
χA(apel) = 1
χA(durian) = 0
χA(utara) = 0
χA(pisang) = 1
χA(singa) = 0
Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan dari semua fungsi
karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan
sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah elemen
dalam himpunan tersebut.
[sunting]Representasi Biner
Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta
S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan
1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada
setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing elemen S,
sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa elemen tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan
bahwa elemen tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan
fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S =
{a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:
Himpunan Representasi Biner
---------------------------- -------------------
a b c d e f g
S = { a, b, c, d, e, f,
g } --> 1 1 1 1 1 1 1
A = { a, c,
e, f } -->
1 0 1 0 1 1 0
B = { b, c, d,
f } -->
0 1 1 1 0 1 0
Cara menyatakan himpunan
seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan,
seperti union, interseksi, dan
komplemen, karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk
melakukannya.
Operasi gabungan setara
dengan A or B
Operasi irisan setara
dengan A and B
Operasi komplemen AC setara dengan not A
Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh
kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.
Wikibooks
memiliki buku bertajuk
Materi:Himpunan
[sunting]Referensi
Pengertian Relasi, Fungsi, Sifat dan Jenis Fungsi
31
AGU
63 Votes
Galileo Galilei (1564-1642) merupakan salah satu astronom
terkenal dari Italia yang dikenal luas dengan penemuannya tentang hubungan yang
sangat teratur antara tinggi suatu benda yang dijatuhkan dengan waktu tempuhnya
menuju tanah.
Konsep “fungsi” terdapat
hampir dalam setiap cabang matematika, sehingga merupakan suatu yang sangat
penting artinya dan banyak sekali kegunaannya. Akan tetapi pengertian dalam
matematika agak berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari.Dalam
pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam
matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) terlihat di atas
digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua
himpunan.
Mengingat konsep fungsi menyangkut hubungan atau kaitan dari
dua himpunan, maka disini kita awali dulu pembicaraan kita mengenai fungsi
dengan hubungan atau relasi antara dua himpunan.
A.Pengertian Relasi
Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah
suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B.
B.Pengertian Relasi
Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah
suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B. didefinisikan
sebagai berikut :
Definisi: Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah
suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan
elemen pada B.
C.Sifat Fungsi
Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada
masing-masing himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita
mengenal tiga sifat fungsi yakni sebagai berikut :
1. Injektif (Satu-satu)
Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut
suatu fungsi satu-satu
(injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan
dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat
dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila
a ≠ a’
berakibat f(a) ≠ f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’)
maka akibatnya a = a’.
2. Surjektif (Onto)
Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka
daerah hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B. Apabila f(A) =
B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya
satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f
memetakan A Onto B”.
3.Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Suatu pemetaan f: A→B
sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif
sekaligus, maka dikatakan “f adalah
fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam
korespondensi satu-satu”
D.Jenis – jenis Fungsi
Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan
yang sama, misalnya D, maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal
dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan
real (R). Untuk fungsi-fungsi pada R kita kenal beberapa fungsi antara lain
sebagai berikut.
a. Fungsi Konstan
b. Fungsi Identitas
c. Fungsi Linear
d. Fungsi Kuadrat
e. Fungsi Rasional
0 komentar:
Posting Komentar