Dalam pembahasan sebelumnya, telah diketahui bahwa
barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U1, U2, U3, U4, . .
.,Un. Barisan bilangan ini disebut sebagai barisan bilangan aritmatika, jika
selisih dua suku yang berurutan selalu tetap.
Selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan
"b".
Jadi,Jika dalam barisan aritmatika tersebut suku pertama
dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah:
a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . , a+(n–1)b
U1, U2, U3, .......Un-1,
Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... =
Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... ,
a+(n-1)b
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n
# DERET ARITMATIKA #
a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret
aritmatika.
a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b =
Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0 dan Barisan
aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2
Sn"
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah Ut = 1/2 (U1 +
Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika,maka
untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a ,a
+ b
Barisan Polinom adalah barisan bilangan[1] yang dibentuk dari
fungsi polinom [2] variabel tunggal dengan domain fungsi bilangan asli.
Beberapa peristiwa dapat memberikan data yang menggambarkan
keberadaan barisan ini, misalnya data banyaknya jabat tangan yang terjadi pada
sekelompok orang. Jumlah orang dalam kelompok sebagai urutan suku dan jumlah
jabatan tangan dari mereka adalah nilai sukunya. Sehingga dapat dinyatakan
dalam bentuk:
Jika ada 1 orang dalam kelompok maka tidak ada jabatan tangan
Jika ada 2 orang dalam kelompok maka hanya ada 1 jabatan
tangan
Jika ada 3 orang dalam kelompok maka ada 3 jabatan tangan
Jika ada 4 orang dalam kelompok maka ada 6 jabatan tangan
dan seterusnya
Rangkaian bilangan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
barisan: 0, 1, 3, 6, ... . Tentu akan menyulitkan kita jika ingin melihat
jumlah jabatan tangan pada kelompok yang anggotanya 201 orang. Untuk itu
seringkali kita berusaha mencari bentuk umum dari barisan tersebut, dan benar
bahwa pada barisan tersebut apabila jumlah n orang dalam kelompok secara umum
terdapat atau jabatan tangan yang menunjukkan barisan
tersebut berupa barisan polinom. Keistimewaan Barisan Polinom
Pada akhir penggalian keistimewaan barisan polinom dapat
dengan mudah kita simpulkan adanya beberapa keistimawaan barisan polinom [4]
tersebut yaitu:
Barisan selisih suku ke derajad polinom yang dibentuk akan
berupa barisan konstanta.
Besar konstanta adalah ai!, dengan a koefisien suku yang
berpangkat tertinggi dari fungsi yang membentuk barisan, dan i merupakan
derajat fungsi polinom tersebut.
Notasi i! artinya faktorial dari i.
[sunting]Algoritma Menentukan Kemungkinan Rumus Umum Sebuah
Barisan
Keistimewaan tersebut cukup membantu dalam mencari kemungkinan
dari bentuk umum sebuah barisan yang diketahui beberapa suku pertamanya.
Langkah-langkah untuk mencari kemungkinan bentuk umum barisan tersebut salah
satunya adalah:
Jika barisan tersebut (anggap barisan utama) adalah barisan
konstanta atau dapat dianggap konstanta maka lanjutkan ke langkah terakhir.
Buat barisan selisih suku terus menerus sampai menghasilkan
barisan konstanta atau dapat dianggap konstanta.
Hitung jumlah barisan selisih suku (misal ada q barisan), dan
salah satu suku konstanta yang dihasilkan adalah p, maka dimungkinkan barisan
utama tersebut mengandung komponen polinom :
.
Hapus komponen polinom yang diperoleh dari langkah ke 3 dari
barisan utama dengan mengurangi masing-masing suku barisan utama dengan nilai
masing-masing suku komponen polinom yang diperoleh di langkah 3. Kemudian
ulangi dari langkah 1 dengan barisan utama yang baru (setelah dihilangkan
komponen polinom yang diperoleh dari langkah 3).
Kemungkinan rumus umum barisan yang kita cari adalah jumlah
semua komponen yang diperoleh di langkah ke 3 ditambah salah satu suku barisan
konstanta paling akhir (barisan utama baru terakhir).
[sunting]Contoh Penggunaan Algoritma
Misalkan kita mencoba mencari salah satu kemungkinan rumus
umum dari barisan bilangan 0, 0, 0, 6, ...
0, 0, 0, 6, .... bukan barisan konstanta maka,
0-0,0-0,6-0, ... atau 0, 0, 6, .... barisan selisih suku ke 1
0-0,6-0, ... atau 0, 6, ... barisan selisih ke 2
6-0, ... atau 6 ... barisan selisih ke 3 kita anggap barisan
konstanta
ada 3 barisan selisih suku maka barisan utama mengandung
komponen .
Barisan n3 adalah 1, 8, 27, 64, ... kita hilangkan dari 0, 0,
0, 6, ... akan menghasilkan barisan 0-1,0-8,0-27,6-64,... atau -1, -8, -27,
-58, ...
-1, -8, -27, -58, ... bukan barisan konstanta maka,
-8+1,-27+8,-58+27, ... atau -7, -19, -31, .... barisan selisih
suku ke 1
-19+7,-31+19, ... atau -12, -12, ... barisan selisih ke 2
berupa barisan konstanta
ada 2 barisan selisih suku maka barisan utama mengandung
komponen .
Barisan -6n2 adalah -6, -24, -54, -96, ... hilangkan dari -1,
-8, -27, -58, ... hasilnya -1+6,-8+24,-27+54,-58+96,... atau 5, 16, 27, 38, ...
5, 16, 27, 38, .... bukan barisan konstanta maka,
16-5,27-16,38-27, ... atau 11, 11, 11, .... barisan selisih
suku ke 1 berupa barisan konstanta
ada 1 barisan selisih suku maka barisan utama mengandung
komponen .
Barisan 11n adalah 11, 22, 33, 44, ... hilangkan dari 5, 16,
27, 38, ... hasilnya barisan 5-11,16-22,27-33,38-44,... atau -6, -6, -6, -6,
...
-6, -6, -6, -6, .... adalah barisan konstanta.
Kemungkinan rumus umum barisan 0, 0, 0, 6, ... adalah Un = n3
- 6n2 + 11n - 6
[sunting]Manfaat Algoritma
Dalam kehidupan seringkali kita berusaha melihat keteraturan
menjadi jelas dan dapat diprediksi. Data keteraturan yang dapat dinyatakan
dengan bilangan dalam interval yang sama dengan kurun waktu tertentu akan
membentuk sebuah barisan.
Barisan tersebut selalu mempunyai multi penafsiran untuk
data-data yang belum terlampaui. Untuk menentukan kemungkinan pola keteraturan
data tersebut sebagai alternatif prediksi dapat digunakan algoritme di atas.
Melalui algoritma ini dapat dengan banyak cara untuk mencari
kemungkinan aturan suku suatu barisan, diantaranya
[sunting]Menambah pada beberapa suku berikutnya
Misalnya ada barisan bilangan 2, 4, 6, .... maka kita dapat
menentukan kemungkinan rumus umum barisan dengan tiga suku tersebut menggunakan
algoritma.
Untuk mendapatkan kemungkinan yang lain kita dapat menambahkan
beberapa suku berikutnya menggunakan bilangan yang kita kehendaki, misalnya
untuk barisan tersebut dapat kita jadikan 2, 4, 6, 10, .... atau 2, 4, 6, 4, 2,
.... dan masih banyak lagi.
[sunting]Menyisipkan bentuk rumus umum yang diharapkan
Metode ini memungkinkan kita menyisipkan sembarang suku yang
kita kehendaki.
Misal pada barisan bilangan 2, 4, 6, ..., jika kita
menghendaki pada rumus umumnya terdapat suku n.sin(90n0) mak kita dapat
mengambil bagian tersebut dari barisan 2, 4, 6, ..., sehingga muncul barisan
2-1.sin(900), 4-2.sin(1800), 6-3.sin(2700), .... atau barisan bilangan 1, 4, 3,
.....
Barisan 1, 4, 3, ... kita cari kemungkinannya menggunakan
algoritma dan hasilnya dijumlahkan dengan n.sin(90n0).
[sunting]Memecah masing-masing suku dengan aturan yang
dikehendaki
Metode ini memecah masing masing suku dengan aturan yang sama,
kemudian masing-masing pecahan suku kita buat barisan yang hasilnya kita gabung
sesuai aturan pemecahan yang telah kita gunakan.
Misal 2, 4, 6, .... dapat kita pecah menjadi 1x2, 2x2, 2x3,
... sehingga muncul dua barisan yaitu 1, 2, 2, ... dan 2, 2, 3, .... Jika
barisan pertama mempunyai rumus Un1 dan barisan kedua memunyai rumus Un2 maka
rumus barisan 2, 4, 6, ... kemungkinan adalah Un = Un1.Un2
[sunting]Mengembangkan Algoritma
Keistimewaan yang telah ditunjukkan barisan polinom yang
selalu memberikan barisan selisih suku ke derajatnya berupa barisan konstanta
maka barisan selisih suku berikutnya adalah barisan 0 (nol).
Mengacu pada pengertian tersebut maka dengan meneliti perilaku
barisan selisih suku disaat tanpa barisan polinom, kemungkinan akan mendapatkan
keteraturan, sehingga memungkinkan membentukan algoritma berlandaskan
keteraturan tersebut.
Dalam makalah seminar Menentukan Rumus Umum Barisan Polinom
terdapat contoh algoritma untuk menyertakan sebuah suku eksponen dalam barisan
polinom sebagai berikut:
Jika barisan tersebut (anggap barisan utama) adalah barisan
konstanta atau dapat dianggap konstanta maka lanjutkan ke langkah terakhir.
Buat barisan selisih suku terus menerus sampai menghasilkan
barisan dengan rasio sukunya sama atau rasio sukunya dapat dianggap sama.
Hitung jumlah barisan selisih suku (misal ada q barisan), dan
nilai suku awal barisan selisih paling akhir adalah p, maka dimungkinkan
barisan utama tersebut mengandung komponen suku eksponen :
Hapus komponen eksponen yang diperoleh dari langkah ke 3 dari
barisan utama dengan mengurangi masing-masing suku barisan utama dengan nilai
masing-masing suku komponen polinom yang diperoleh di langkah 3.
Jika barisan tersebut (anggap barisan utama) adalah barisan
konstanta atau dapat dianggap konstanta maka lanjutkan ke langkah terakhir.
Buat barisan selisih suku terus menerus sampai menghasilkan
barisan konstanta atau dapat dianggap konstanta.
Hitung jumlah barisan selisih suku (misal ada q barisan), dan
salah satu suku konstanta yang dihasilkan adalah p, maka dimungkinkan barisan
utama tersebut mengandung komponen polinom :
.
Hapus komponen polinom yang diperoleh dari langkah ke 7 dari
barisan utama dengan mengurangi masing-masing suku barisan utama dengan nilai
masing-masing suku komponen polinom yang diperoleh di langkah 7. Kemudian
ulangi dari langkah 5 dengan barisan utama yang baru (setelah dihilangkan komponen
polinom yang diperoleh dari langkah 7).
Kemungkinan rumus umum barisan yang kita cari adalah jumlah
semua komponen yang diperoleh di langkah ke 3 , dan 7, serta ditambah salah
satu suku barisan konstanta paling akhir (barisan utama baru terakhir).
Misalnya kita mencari kemungkinan rumus umum barisan 2, 7, 24,
77, 238, ...
2, 7, 24, 77, 238, .... bukan barisan konstanta maka,
7-2,24-7,77-24,238-77, ... atau 5, 17, 53, 161, .... barisan
selisih suku ke 1
17-5,53-17,161-53, ... atau 12, 36, 108, ... barisan selisih
ke 2 kita anggap barisan mempunyai :
ada 2 barisan selisih suku dengan rasio 3 maka kemungkinan
mengandung komponen .
Barisan 3n adalah 3, 9, 27, 81, 243, ... kita hilangkan dari
2, 7, 24, 77, 238 ... akan menghasilkan barisan 2-3,7-9,24-27,238-234,... atau
-1, -2, -3, -4, ...
-1, -2, -3, -4, .... bukan barisan konstanta maka,
-2+1,-3+2,-4+3, ... atau -1, -1, -1, .... barisan selisih suku
ke 1 berupa barisan konstanta
ada 1 barisan selisih suku maka barisan utama mengandung
komponen .
Barisan -n adalah -1, -2, -3, -4, ... hilangkan dari -1, -2,
-3, -4, ... hasilnya barisan -1+1,-2+2-3+3,-4+4,... atau 0, 0, 0, 0, ...
0, 0, 0, 0, .... adalah barisan konstanta.
Kemungkinan rumus umum
barisan 2, 7, 24, 77, 238, ...
0 komentar:
Posting Komentar