bilangan bulat

1.    Pengertian Bilangan Bulat

2.   1. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.

3.   2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:

4.   a. Sifat tertutup

5.   Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

6.   b. Sifat komutatif

7.               Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

8.   c. Sifat asosiatif

9.               Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

10.                d. Mempunyai unsur identitas

11. Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

12.                e. Mempunyai invers

13.                Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.

14.                3. Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).

15.                4. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

16.                5. Jika p dan q bilangan bulat maka

17.                a. p x q = pq;

18.                b. (–p) x q = –(p x q) = –pq;

19.                c. p x (–q) = –(p x  q) = –pq;

20.               d. (–p) x (–q) = p x  q = pq.

21.                6. Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat

22.               a. tertutup terhadap operasi perkalian;

1.    b. komutatif: p x q = q x p;

2.   c. asosiatif: (p x q) x r = p x (q x  r);

3.   d. distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x  r);

4.   e. distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) – (p x  r).

5.   7. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.

6.   8. Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.

7.   9. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

8.   10. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.

9.   a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

10.                b. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

11. c. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

Coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar mengenai bilangan cacah. Bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, ....

Jika bilangan cacah tersebut digambarkan pada suatu garis bilangan, apa yang kalian peroleh?

Seseorang berdiri di atas lantai berpetak. Ia memilih satu garis lurus yang menghubungkan petak-petak lantai tersebut. Ia berdiri di satu titik dan ia namakan titik 0.

 Garis pada petak di depannya ia beri angka 1, 2, 3, 4, .... Jika ia maju 4 langkah ke depan, ia berdiri di angka +4. Selanjutnya, jika ia mundur 2 langkah ke belakang, ia berdiri di angka +2. Lalu ia mundur lagi 3 langkah ke belakang. Berdiri di angka berapakah ia sekarang? Di angka berapa pulakah ia berdiri, jika ia mundur

lagi 1 langkah ke belakang?

Perhatikan bahwa posisi 4 langkah ke depan dari titik nol (0)dinyatakan dengan +4. Demikian pula posisi 2 langkah ke depan dinyatakan dengan +2. Oleh karena itu, posisi 4 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –4. Adapun posisi 2 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –2.

 Pasangan-pasangan bilangan seperti di atas jika dikumpulkan akan membentuk bilangan bulat. Tanda + pada bilangan bulat biasanya tidak ditulis. Kumpulan semua bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat dan dinotasikan dengan  B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

2. Penggunaan Bilangan Bulat dalam Kehidupan Sehari-hari

Kapal selam digunakan untuk kepentingan penjagaan, perang, dan operasi-operasi penyelamatan. Oleh karena itu, para penyelam dan kapten kapal selam perlu mengetahui tingkat kedalaman laut. Jika permukaan air laut dinyatakan 0 meter maka tinggi di atas permukaan laut dinyatakan dengan bilangan positif dan kedalaman di bawah permukaan laut dinyatakan dengan bilangan negatif. Misalnya, kedalaman 10 m di bawah permukaan laut ditulis –10 m.

3. Letak Bilangan Bulat pada Garis Bilangan

Pada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut :

Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebut bilangan bulat positif, sedangkan bilangan –1, –2, –3, –4, –5, ... disebut bilangan bulat negatif.

Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.