Himpunan Bagian

Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) daripada himpunan B, jika setiap unsur himpunan A merupakan unsur himpunan B.

Notasi yang digunakan adalah AÍB, dibaca A himpunan bagian dari B, atau himpunan A termasuk himpunan B.

Contoh

B = {x|x huruf abjad}, maka A = {x|x huruf hidup abjad} merupakan himpunan bagian dari B. Ditulis AÍB.

Definisi

Himpunan A disebut himpunan bagian sejati (proper subset) dari pada himpunan B, jika setiap unsur A merupakan unsur B, dan paling sedikit ada satu unsur B yang bukan unsur A. Notasi yang digunakan adalah AÌB.

Contoh

1. Himpunan C = {1, 3, 5} adalah subhimpunan sejati dari D = {5, 4, 3, 2, 1), karena setiap unsur C merupaka unsur D dan unsur 2 dan 4 merupakan unsur D, tetapi bukan merupakan unsur C. Sehingga CÌD.

2. Himpunan E = {2, 4, 6} adalah subhimpunan dari F = {6,2,4}, karena setiap unsur E juga merupakan unsur F dan tidak ada unsur F yang bukan merupakan unsur E ,sehingga EÍF.

3. Misalkan G = {2, 4, 6, …}, dan misalkan F = {2, 4, 8, 16, …} maka FÍG.

Selanjutnya agar tidak menimbulkan kebingungan mengenai simbol yang digunakan untuk selanjutnya kita gunakan simbol Í untuk menyatakan bahwa A merupakan himpunan bagian dari B, kecuali disebutkan khusus untuk himpunan bagian sejati.

Jika himpunan A bukan merupakan himpunan bagian dari B, maka ditulis A Ë B, contohnya jika himpunan C = {1, 3, 5} dan D = {5, 4, 3, 2, 1), maka D bukan merupakan himpunan bagian dari C, ditulis DËC.

Jika suatu himpunan tidak mempunyai unsur (anggota), maka himpunan itu disebut himpunan kosong, dan dinyatakan dengan Æ atau {}. Himpunan kosong tidak sama dengan {0}, yaitu Æ ¹ {0}. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

Sebuah himpunan bagian dapat berisi beberapa unsur, semua unsur, atau kosong. Jadi, himpunan itu sendiri, dan himpunan kosong, merupakan himpunan bagian. Himpunan semula disebut dengan himpunan bagian tidak murni (improper subset), sedangkan himpunan bagian yang lain yang berbeda dengan himpunan semula disebut himpunan bagian murni (proper subset). Sedangkan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan yang banyak unsurnya n adalah 2n.